求下列二次多項式的零點，並驗證零點與其係數之間的關係

$p(x)\ =\ x^2\ +\ 2\sqrt{2}x\ –\ 6$

$f(x) = x^2 + 2\sqrt{2}x – 6$

這裡，我們需要求出 f(x) 的零點。

為了求出 f(x) 的零點，我們需要令 $f(x)=0$。

這意味著：

$x^2 +2\sqrt{2}x – 6 = 0$

$x^2 +3\sqrt{2}x -\sqrt{2}x – 6= 0$

$x(x +3\sqrt{2}) -\sqrt{2}(x +3\sqrt{2}) = 0$ (此處原文有誤，已更正)

$(x +3\sqrt{2})(x -\sqrt{2}) = 0$

$x+3\sqrt{2}=0$ 且 $x-\sqrt{2}=0$

$x =-3\sqrt{2}$ 且 $x = \sqrt{2}$

因此，二次方程 $f(x) = x^2 +2\sqrt{2}x – 6$ 的零點是 $\sqrt{2}$ 和 $-3\sqrt{2}$。

驗證

我們知道：

零點之和 $= -\frac{x 的係數}{x^2 的係數}$

                       $= –\frac{2\sqrt{2}}{1}$

                       $=-2\sqrt{2}$

$f(x)$ 的零點之和為 $\sqrt{2}+(-3\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$

根的乘積 $= \frac{常數項}{x^2 的係數}$

                            $= \frac{(-6)}{1}$

                            $= -6$

$f(x)$ 的根的乘積為 $\sqrt{2}\times(-3\sqrt{2})=-6$

因此，零點與其係數之間的關係已得到驗證。