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法律研究求下列二次多項式的零點，並驗證零點與其係數之間的關係
$h(s)\ =\ 2s^2\ –\ (1\ +\ 2\sqrt{2})s\ +\ \sqrt{2}$
已知
$h(s) = 2s^2– (1+2\sqrt{2})s+\sqrt{2}$
求解
這裡，我們需要求出 h(s) 的零點。
解法
為了求出 h(s) 的零點，我們需要令 $h(s)=0$。
這意味著，
$h(s) = 2s^2– (1+2\sqrt{2})s+\sqrt{2}= 0$
$2s^2-s-2\sqrt{2}s+\sqrt{2}= 0$
$s(2s-1)-\sqrt{2}(2s-1)= 0$
$(2s-1) (s-\sqrt{2})= 0$
$2s-1=0$ 且 $s-\sqrt{2}=0$
$2s = 1$ 且 $s= \sqrt{2}$
$s=\frac{1}{2}$ 且 $s=\sqrt{2}$
因此，二次方程 $h(s) = 2s^2– (1+2\sqrt{2})s+\sqrt{2}$ 的零點為 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{2}$。
驗證
我們知道，
零點之和 $= -\frac{s 的係數}{s^2 的係數}$
$= –(\frac{-(1+2\sqrt{2})}{2})$
$=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$
$h(s)$ 的零點之和為 $\frac{1}{2}+\sqrt{2}$
根的積 $= \frac{常數項}{x^2 的係數}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$h(s)$ 的根的積為 $\frac{1}{2}\times \sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$
因此，零點與其係數之間的關係得到驗證。
更新於: 2022 年 10 月 10 日
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