已知多項式 $2x^4\ +\ 7x^3\ -\ 19x^2\ -\ 14x\ +\ 30$ 的兩個零點為 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$，求該多項式的所有零點。

已知

已知多項式為 $2x^4\ +\ 7x^3\ -\ 19x^2\ -\ 14x\ +\ 30$，其中兩個零點為 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$。

求解

我們需要求出該多項式的所有零點。

解答

如果 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$ 是該多項式的零點，則 $(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$ 是其一個因子。

這意味著：

$(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)=x^2-(\sqrt{2})^2=x^2-2$

因此：

被除數$=2x^4+7x^3-19x^2-14x+30$

除數$=x^2-2$

$x^2-2$)$2x^4+7x^3-19x^2-14x+30$($2x^2+7x-15$

商$=2x^2+7x-15$

為了找到其他零點，令 $2x^2+7x-15=0$。

$2x^2+10x-3x-15=0$

$2x(x+5)-3(x+5)=0$

$(x+5)(2x-3)=0$

$x+5=0$ 或 $2x-3=0$

$x=-5$ 或 $2x=3$

$x=-5$ 或 $x=\frac{3}{2}$

該多項式的所有零點為 $-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$-5$ 和 $\frac{3}{2}$。

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更新於：2022年10月10日

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