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法律研究如果多項式 $f(x)\ =\ 2x^3\ –\ 15x^2\ +\ 37x\ –\ 30$ 的零點成等差數列，求這些零點。
已知
多項式 $f(x)\ =\ 2x^3\ –\ 15x^2\ +\ 37x\ –\ 30$ 的零點成等差數列。
要求
這裡，我們需要找到給定多項式的零點。
解答
設給定多項式的零點為 α、β 和 γ。
已知零點成等差數列。
因此，我們將根設為：
$α = p – d$，$β = p$ 和 $γ = p +d$
其中，$p$ 是首項，$d$ 是公差。
將 $f(x) $ 與三次多項式的標準形式進行比較：
$a= 2$，$b= -15$，$c= 37$ 和 $d=-30$
因此：
根的和 $= α + β + γ = (p– d) + p + (p + d) = 3p = \frac{-b}{a} =\frac{-(-15)}{2} = \frac{15}{2}$
$3p= \frac{15}{2}$
$p= \frac{5}{2}$
根的積 $= (p – d) \times (p) \times (p + d) = p(p^2 –d^2) = \frac{-d}{a} = \frac{-(-30)}{2} = 15$
$p(p^2 –d^2) = 15$
代入 p 的值，得到
$\frac{5}{2}[(\frac{5}{2})^2 –d^2] = 15$
$\frac{25}{4}– d^2 = 3\times2$
$25 – 4d^2 = 6\times4$
$4d^2=25-24$
$d^2=\frac{1}{4}$
$d = \frac{1}{2} 或 \frac{-1}{2}$
取 $d = \frac{1}{2}$ 和 $p = \frac{5}{2}$
零點為 $\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$，$\frac{5}{2}$ 和 $\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3$。
取 $d = \frac{-1}{2}$ 和 $a = \frac{5}{2}$
零點為 $3$，$\frac{5}{2}$ 和 $2$。
更新於：2022年10月10日
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