如果多項式 $f(x)\ =\ ax^3\ +\ 3bx^2\ +\ 3cx\ +\ d$ 的零點成等差數列，證明 $2b^3\ -\ 3abc\ +\ a^2d\ =\ 0$。

已知零點成等差數列。

因此，設根為 $α = p – d$，$β = p$ 和 $γ = p +d$，其中 $p$ 是首項，$d$ 是公差。

將 $f(x)$ 與三次多項式的標準形式比較，$a= a$，$b= 3b$，$c= 3c$ 和 $d=d$

因此，

根之和 $= α + β + γ = (p– d) + p + (p + d) = 3p = \frac{-b}{a} =\frac{-3b}{a} = -\frac{3b}{a}$

$3p= -\frac{3b}{a}$

$p= -\frac{b}{a}$

$β = p$ 是給定多項式的根。

這意味著

$f(p)=0$

$f(-\frac{b}{a})=a(-\frac{b}{a})^3+3b(-\frac{b}{a})^2+3c(-\frac{b}{a})+d=0$

$\begin{array}{l}
$a\left(\frac{-b^{3}}{a^{3}}\right) +3b\left(\frac{b^{2}}{a^{2}}\right) +3c\left(\frac{-b}{a}\right) +d=0\\
\\
\frac{-b^{3}}{a^{2}} +\frac{3b^{3}}{a^{2}} -\frac{3bc}{a} +d=0\\
\\
\frac{-b^{3} +3b^{3} -3abc+a^{2} d}{a^{2}} =0\\
\\
2b^{3} -3abc+a^{2} d=0
\end{array}$

證畢。