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法學如果多項式 \(g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b\) 的因式為 \(2x + 3\) 和 \(x + 2\)，則求多項式 \(g(x)\) 中常數 \(a\) 和 \(b\) 的值。
已知
給定的多項式為 \(g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b\).
\(2x + 3\) 和 \(x + 2\) 是多項式 \(g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b\) 的因式。
要求
我們需要求出多項式 \(g(x)\) 中 \(a\) 和 \(b\) 的值。
解答
\(2x + 3\) 和 \(x + 2\) 是多項式 \(g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b\) 的因式。
當 \(x = -2\) 時，\(g(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + 27(-2) + b = 0\).
\(4a + b - 70 = 0\)
\(4a + b = 70\)-----(1)
當 \(x = \frac{-3}{2}\) 時，\(g(\frac{-3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^3 + a(-\frac{3}{2})^2 + 27(-\frac{3}{2}) + b = 0\).
\(\frac{9}{4}a + 4b - \frac{81}{2} = 0\)
\(9a + 4b = 189\)----(2)
為了求解上述兩個方程，我們將方程 (1) 乘以 4，這樣 4b 可以消去，然後我們可以先求出 a 的值。
\(4(4a+b) = 4(70)\)
\(16a+4b = 280\) -----(3)
現在，
方程 (3) 減去方程 (2) 為：
\(16a+4b = 280\)
\(-(9a+4b = 189)\)
--------------------
\(7a = 91\)
\(a = \frac{91}{7}\)
\(a = 13\)
將 \(a = 13\) 代入方程 (1)
\(4(13)+b = 70\)
\(52+b =70\)
\(b = 70-52\)
\(b = 18\).
\(a\) 的值為 13，\(b\) 的值為 18。
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