如果 $α$ 和 $β$ 是二次多項式 $f(x)\ =\ x^2\ -\ 2x\ +\ 3$ 的零點,求一個多項式,其根為 $α\ +\ 2,\ β\ +\ 2$。


已知

$α$  和  $β$  是二次多項式 $f(x)\ =\ x^2\ -\ 2x\ +\ 3$ 的零點。


問題

我們要求取以 $α+2$ 和 $β+2$ 為零點的二次多項式。 


解答

我們知道, 

二次方程的標準形式為 $ax^2+bx+c=0$,其中 a、b 和 c 是常數且 $a≠0$

將給定方程與二次方程的標準形式進行比較,得到 $a=1$, $b=-2$ 和 $c=3$

根之和 $= α+β = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1}=2$。

根之積 $= αβ = \frac{c}{a} = \frac{3}{1}=3$。

令給定二次方程零點的和和積分別為 $S$ 和 $P$。

因此,

$ \begin{array}{l}

S=( \alpha +2) +( \beta +2)\\
\ \ \ =( \alpha +\beta ) +4\\
\\
P=( \alpha +2) \times ( \beta +2)\\
\\
\ \ \ =2+4\\
\\
\ \ \ =6\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2\alpha +2\beta +4)\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2( \alpha +\beta ) +4)\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2( \alpha +\beta ) +4)\\
\\
\ \ =( 3+2( 2) +4)\\
\\
\ \ =( 3+4+4)\\
\\
\ \ =11
\end{array}$

根之和為 $S$,根之積為 $P$ 時二次多項式為 $f(x)=k(x^2-(S)x+P)$,其中 $k$ 為任意非零實數。

$ \begin{array}{l}

$f(x)=k(x^2-(6)x+11)$

$f(x)=k(x^2-6x+11)$


所需的二次多項式為 $f(x)=k(x^2-6x+11)$,其中 $k$ 為任意非零實數。

更新於:2022-10-10

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