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法律研究如果α和β是二次多項式f(x) = x² - 2x + 3的根，求一個根為(α - 1)/(α + 1)和(β - 1)/(β + 1)的多項式。
已知
α 和 β 是二次多項式f(x) = x² - 2x + 3的根。
要求
我們必須找到一個具有(α - 1)/(α + 1)和(β - 1)/(β + 1)作為其根的二次多項式。
解答
我們知道：
二次方程的標準形式為ax²+bx+c=0，其中a、b和c是
常數且a≠0
將給定方程與二次方程的標準形式比較，a=1，b=-2，c=3
根的和 = α+β = -b/a = -(-2)/1 = 2。
根的積 = αβ = c/a = 3/1 = 3。
設給定二次方程的根的和與積分別為S和P。
因此，
$\begin{array}{l}
S = \frac{\alpha -1}{\alpha +1} + \frac{\beta -1}{\beta +1} \\
\\
= \frac{(\alpha -1)(\beta +1) + (\beta -1)(\alpha +1)}{(\alpha +1)(\beta +1)} \\
\\
= \frac{\alpha \beta + \alpha - \beta -1 + \alpha \beta + \beta - \alpha -1}{\alpha \beta + \alpha + \beta +1} \\
\\
= \frac{2\alpha \beta -2}{\alpha \beta + \alpha + \beta +1} \\
\\
= \frac{2(3) -2}{3 + 2 +1} \\
\\
= \frac{6-2}{6} \\
\\
= \frac{4}{6} \\
\\
= \frac{2}{3} \\
\\
P = \frac{\alpha -1}{\alpha +1} \times \frac{\beta -1}{\beta +1} \\
\\
= \frac{(\alpha -1)(\beta -1)}{(\alpha +1)(\beta +1)} \\
\\
= \frac{\alpha \beta - \alpha - \beta +1}{\alpha \beta + \alpha + \beta +1} \\
\\
= \frac{\alpha \beta - (\alpha + \beta) +1}{\alpha \beta + (\alpha + \beta) +1} \\
\\
= \frac{3 - 2 +1}{3 + 2 +1} \\
\\
= \frac{2}{6} \\
\\
= \frac{1}{3}
\\
$\end{array}$
具有根的和S和根的積P的二次多項式是f(x) = k(x² - Sx + P)，其中k是任何非零實數。
因此，
f(x) = k(x² - (2/3)x + 1/3)
f(x) = k(x² - 2x/3 + 1/3)
所需二次多項式為f(x) = k(x² - 2x/3 + 1/3)，其中k是任何非零實數。
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