如果$α$和$β$是二次多項式$f(x)\ =\ x^2\ –\ 5x\ +\ 4$的兩個根，求$\frac{1}{α}\ +\ \frac{1}{β}\ –\ 2αβ$的值。

已知

$α$和$β$是二次多項式$f(x)\ =\ x^2\ –\ 5x\ +\ 4$的兩個根。

要求

這裡，我們需要求$\frac{1}{α}\ +\ \frac{1}{β}\ –\ 2αβ$的值。

解答

我們知道，

二次方程的標準形式為$ax^2+bx+c=0$，其中a，b和c是常數，且$a≠0$

將給定方程與二次方程的標準形式進行比較，

$a=1$，$b=-5$，$c=4$

根的和$= α+β = \frac{-b}{a} = \frac{– (-5)}{1} = 5$。

根的積$= αβ = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$

因此，

$\frac{1}{α} +\frac{1}{β}– 2αβ=\frac{(α +β)}{αβ}- 2αβ$

$=\frac{5}{4}– 2(4) = \frac{5}{4}– 8 = \frac{5-4\times8}{4}=\frac{5-32}{4}=\frac{-27}{4}$。

$\frac{1}{α}\ +\ \frac{1}{β}\ –\ 2αβ$的值為$\frac{-27}{4}$。

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更新於： 2022年10月10日

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