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法學如果α和β是多項式f(x) = x² + px + q的根，構造一個根為(α + β)²和(α - β)²的多項式。
已知
α 和 β 是二次多項式 f(x) = x² + px + q 的根。
要求
我們需要找到一個根為 (α + β)² 和 (α - β)² 的二次多項式。
解答
我們知道：
二次方程的標準形式是 ax² + bx + c = 0，其中 a，b 和 c 是
常數，且 a ≠ 0
將給定方程與二次方程的標準形式比較，
a = 1，b = p，c = q
根的和 = α + β = -b/a = -p/1 = -p。
根的積 = αβ = c/a = q/1 = q。
設給定二次方程的根的和與積分別為 S 和 P。
因此，
$\begin{array}{l}
S = (α + β)² + (α - β)² \\
\\
= α² + β² + 2αβ + α² + β² - 2αβ \\
\\
= 2(α² + β²) \\
\\
= 2((α + β)² - 2αβ) \\
\\
= 2((-p)² - 2q) \\
\\
= 2(p² - 2q) \\
\\
P = (α + β)² × (α - β)² \\
\\
= (α² + β² + 2αβ)(α² + β² - 2αβ) \\
\\
= ((α + β)² - 2αβ + 2αβ)((α + β)² - 2αβ - 2αβ) \\
\\
= (α + β)²((α + β)² - 4αβ) \\
\\
= p²(p² - 4(-q)) \\
\\
= p²(p² + 4q)
$\end{array}$
具有根的和 S 和根的積 P 的二次多項式為 f(x) = k(x² - Sx + P)，其中 k 是任何非零實數。
因此，
f(x) = k(x² - (2(p² - q))x + (p²(p² - 4q)))
f(x) = k(x² - 2(p² - 2q)x + p²(p² + 4q))
所需二次多項式為 f(x) = k(x² - 2(p² - 2q)x + p²(p² + 4q))，其中 k 是任何非零實數。
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