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法學如果α和β是二次多項式f(x) = x² - 3x - 2的零點，求一個零點為1/(2α + β)和1/(2β + α)的二次多項式。
已知
α 和 β 是二次多項式 f(x) = x² - 3x - 2 的零點。
要求
我們必須找到一個以 1/(2α+β) 和 1/(2β+α) 為零點的二次多項式。
解答
我們知道：
二次方程的標準形式為 ax²+bx+c=0，其中a，b和c是
常數，且a≠0
將給定方程與二次方程的標準形式比較：
a=1，b=-3，c=-2
根的和 = α+β = -b/a = -(-3)/1 = 3。
根的積 = αβ = c/a = -2/1 = -2。
設給定二次方程的零點的和與積分別為S和P。
因此，
S = 1/(2α + β) + 1/(2β + α)
= (2β + α + 2α + β) / [(2α + β)(2β + α)]
= (3α + 3β) / (4αβ + 2α² + 2β² + αβ)
= 3(α + β) / (5αβ + 2(α² + β²))
= 3(α + β) / [5αβ + 2((α + β)² - 2αβ)]
= 3(3) / [5(-2) + 2(3² - 2(-2))]
= 9 / [-10 + 2(9 + 4)]
= 9 / (-10 + 26)
= 9/16
P = 1/(2α + β) × 1/(2β + α)
= 1 / [(2α + β)(2β + α)]
= 1 / (4αβ + 2α² + 2β² + αβ)
= 1 / [5αβ + 2(α² + β²)]
= 1 / [5αβ + 2((α + β)² - 2αβ)]
= 1 / [5(-2) + 2(3² - 2(-2))]
= 1 / [-10 + 2(9 + 4)]
= 1 / (-10 + 26)
= 1/16
具有根的和S和根的積P的二次多項式是f(x) = k(x² - Sx + P)，其中k是任意非零實數。
因此，
f(x) = k(x² - (9/16)x + 1/16)
f(x) = k(x² - 9x/16 + 1/16)
所求的二次多項式是f(x) = k(x² - 9x/16 + 1/16)，其中k是任意非零實數。
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