如果α和β是二次多項式f(x) = x² - 1的根，求一個根為2α/β和2β/α的二次多項式。

已知

α 和 β 是二次多項式 f(x) = x² - 1 的根。

需要做的事情

我們需要找到一個根為 2α/β 和 2β/α 的二次多項式。 

解答

我們知道，

二次方程的標準形式為 ax² + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是

常數且 a≠0

將給定方程與二次方程的標準形式進行比較，

a = 1，b = 0 且 c = -1

根的和 = α + β = -b/a = -0/1 = 0。

根的積 = αβ = c/a = -1/1 = -1。

設給定二次方程的根的和與積分別為 S 和 P。

因此，

S = 2α/β + 2β/α

= (2α² + 2β²)/αβ

= 2(α² + β²)/αβ

= 2((α + β)² - 2αβ)/αβ

= 2((0)² - 2(-1))/-1

= 4/-1

$=-4$

P = 2α/β × 2β/α

$=4$

具有根的和 S 和根的積 P 的二次多項式為 f(x) = k(x² - (S)x + P)，其中 k 是任何非零實數。

因此，

f(x) = k(x² - (-4)x + 4)

f(x) = k(x² + 4x + 4)

所需的二次多項式為 f(x) = k(x² + 4x + 4)，其中 k 是任何非零實數。

教程點

更新於: 2022年10月10日

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