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法律研究如果α和β是二次多項式f(x) = x² - px + q的根，證明α²/β² + β²/α² = p⁴/q² - 4p²/q + 2。
已知
α和β是二次多項式f(x) = x² - px + q的根。
要求
這裡，我們需要證明α²/β² + β²/α² = p⁴/q² - 4p²/q + 2。
解答：
我們知道，
二次方程的標準形式為ax² + bx + c = 0，其中a，b和c是
常數，且a≠0
將給定方程與二次方程的標準形式進行比較，
a = 1，b = -p，c = q
根的和 = α + β = -b/a = -(-p)/1 = p。
根的積 = αβ = c/a = q/1 = q。
左邊
$ \begin{array}{l}
α²/β² + β²/α² = (α⁴ + β⁴)/(α²β²)
\\
= [(α²)² + (β²)²]/(α²β²)
\\
= [(α² + β²)² - 2α²β²]/(α²β²)
\\
= [((α + β)² - 2αβ)² - 2(αβ)²]/(αβ)²
\\
= [(p² - 2q)² - 2q²]/q²
\\
= [(p² - 2q)² - 2q²]/q²
\\
= [(p⁴ + 4q² - 4p²q) - 2q²]/q²
\\
= [p⁴ + 4q² - 4p²q - 2q²]/q²
\\
= (p⁴ + 2q² - 4p²q)/q²
\end{array}$
右邊
$ \begin{array}{l}
p⁴/q² - 4p²/q + 2 = (p⁴ - 4p²q + 2q²)/q²
\\
= (p⁴ + 2q² - 4p²q)/q²
\end{array}$
左邊 = 右邊
證畢。
更新於： 2022 年 10 月 10 日
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