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法律研究如果α和β是二次多項式f(x) = ax² + bx + c的兩個根，則計算
β/(aα + b) + α/(aβ + b)
已知
α 和 β 是二次多項式 f(x) = ax² + bx + c 的兩個根。
要求
我們必須求出 β/(aα + b) + α/(aβ + b) 的值。
解答
給定的二次方程是ax²+bx+c=0，其中a，b和c是常數，且a≠0。
根的和 = α + β = -b/a。
根的積 = αβ = c/a。
我們知道：
$\begin{array}{l}$
β/(aα + b) + α/(aβ + b) = [β(aβ + b) + α(aα + b)]/[(aα + b)(aβ + b)]
\\
= (aβ² + bβ + aα² + bα) / (a²αβ + abα + abβ + b²)
\\
= [a(α² + β²) + b(α + β)] / (a²αβ + ab(α + β) + b²)
\\
= [a((α + β)² - 2αβ) + b(α + β)] / (a²αβ + ab(α + β) + b²)
\\
= [a((-b/a)² - 2c/a) + b(-b/a)] / (a²c/a + ab(-b/a) + b²)
\\
= [a(b²/a² - 2c/a) - b²/a] / (ac - b² + b²)
\\
= [(b² - 2ac)/a - b²/a] / ac
\\
= (-2ac/a) / ac
\\
= -2ac / a²c
\\
= -2/a
$\end{array}$
β/(aα + b) + α/(aβ + b) 的值為 -2/a。
更新於：2022年10月10日
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