如果\( x-\sqrt{3} \)是多項式\( a x^{2}+b x-3 \)的一個因子，並且\( a+b=2-\sqrt{3} \)。求\( a \)和\( b \)的值。

已知

\( x-\sqrt{3} \)是多項式\( a x^{2}+b x-3 \)的一個因子，並且\( a+b=2-\sqrt{3} \).

求解

我們要求\( a \)和\( b \)的值。

解答

$a+b=2-\sqrt{3}$.............(i)

\( x-\sqrt{3} \)是多項式\( p(x) = a x^{2}+b x-3 \)的一個因子

這意味著：

$p(\sqrt3)=a(\sqrt3)^2+b(\sqrt3)-3=0$

$3a+\sqrt3b-3=0$

$3a+\sqrt3b=3$

$\sqrt3(\sqrt3a+b)=(\sqrt3)^2$

$\sqrt3a+b=\sqrt3$.........(ii)

用(i)減去(ii)，我們得到：

$a+b-\sqrt3a-b=2-\sqrt3-\sqrt3$

$a-\sqrt3a=2-2\sqrt3$

$a(1-\sqrt3)=2(1-\sqrt3)$

$a=2$

這意味著：

$2+b=2-\sqrt3$

$b=-\sqrt3$

教程點

更新於：2022年10月10日

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