如果\( x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} \)是\( x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 \)的根，其中$a, b, c, d$是整數，那麼|$a+b+c+d$|的值是多少？A. 52
B. 90
C. 21
D.93

已知

已知方程為\( x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 \).

\( x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} \)是\( x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 \)的根，其中$a, b, c, d$是整數。

解題步驟

我們需要求|$a+b+c+d$|的值。

解答

$x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$

$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$

$\Rightarrow x-\sqrt6=\sqrt2+\sqrt3$

兩邊平方，得到：

$(x-\sqrt6)^2=(\sqrt2+\sqrt3)^2$

$x^2-2(x)(\sqrt6)+(\sqrt6)^2=(\sqrt2)^2+2(\sqrt2)(\sqrt3)+(\sqrt3)^2$

$x^2-2\sqrt6 x+6=2+2\sqrt6+3$

$x^2+6-5=2\sqrt6+2\sqrt6 x$

$x^2+1=2\sqrt6(1+x)$

兩邊平方：

$(x^2+1)^2=(2\sqrt6(1+x))^2$

$x^4+2(1)(x^2)+1=4(6)[1+2(1)(x)+x^2]$

$x^4+2x^2+1=24(x^2+2x+1)$

$x^4+2x^2+1=24x^2+48x+24$

$x^4+x^2(2-24)-48x+1-24=0$

$x^4-22x^2-48x-23=0$

與已知方程比較，得到：

$a=0, b=-22, c=-48$ 和 $d=-23$.

|$a+b+c+d$|的值$=0+(-22)+(-48)+(-23)$

$=$|$-93$|

$=93$.

|$a+b+c+d$|的值為93。

更新於：2022年10月10日

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