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法律學已知 $x\ -\ \sqrt{5}$ 是三次多項式 $x^3\ -\ 3\sqrt{5}x^2\ +\ 13x\ -\ 3\sqrt{5}$ 的一個因式，求該多項式的所有零點。
已知
已知多項式為 $x^3\ -\ 3\sqrt{5}x^2\ +\ 13x\ -\ 3\sqrt{5}$。 $x\ -\ \sqrt{5}$ 是已知三次多項式的因式。
要求
我們必須找到已知多項式的所有零點。
解答
$x-\sqrt{5}$ 是已知多項式的因式。
應用除法演算法，
被除數$=x^3-3\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}$
除數$=x-\sqrt{5}$
$x-\sqrt5$)$x^3-3\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}$($x^2-2\sqrt{5}x+3$
$x^3-\sqrt{5}x^2$
-----------------------------------------
$-2\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}$
$-2\sqrt{5}x^2+10x$
---------------------------------
$3x-3\sqrt{5}$
$3x-3\sqrt{5}$
----------------------
$0$
因此，
商$=x^2-2\sqrt{5}x+3$
$x^3-3\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}=(x-\sqrt{5})(x^2-2\sqrt{5}x+3)$
為了得到其他零點，令 $x^2-2\sqrt{5}x+3=0$。
$x^2-2\sqrt{5}x+3=0$
$ \begin{array}{l}
x=\frac{-\left( -2\sqrt{5}\right) \pm \sqrt{\left( -2\sqrt{5}\right)^{2} -4( 1)( 3)}}{2( 1)}\\
\\
x=\frac{2\sqrt{5} \pm \sqrt{20-12}}{2}\\
\\
x=\frac{2\sqrt{5} \pm \sqrt{8}}{2}\\
\\
x=\frac{2\sqrt{5} \pm 2\sqrt{2}}{2}\\
\\
x=\sqrt{5} +\sqrt{2} 或 x=\sqrt{5} -\sqrt{2}
\end{array}$
已知多項式的所有零點為 $\sqrt{5}$，$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
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