已知多項式 $f(x)\ =\ x^4\ –\ 3x^3\ –\ x^2\ +\ 9x\ –\ 6$ 的兩個零點為 $-\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$，求該多項式的所有零點。

已知

$f(x)\ =\ x^4\ –\ 3x^3\ –\ x^2\ +\ 9x\ –\ 6$，且其兩個零點為 $-\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$。

求解

我們需要找到$f(x)$的所有零點。

解答

如果$-\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 是 $f(x)$ 的零點，那麼 $(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)$ 是 $f(x)$ 的一個因子。

這意味著：

$(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)=x^2-(\sqrt3)^2=x^2-3$

因此：

被除數 $f(x)\ =\ x^4\ –\ 3x^3\ –\ x^2\ +\ 9x\ –\ 6$

除數 $=x^2-3$

$x^2-3$)$x^4-3x^3-x^2+9x-6$($x^2-3x+2$

商$=x^2-3x+2$

$f(x)=(x^2-3)(x^2-3x+2)$

為了找到其他零點，令 $x^2-3x+2=0$。

$x^2-3x+2=0$

$x^2-2x-x+2=0$

$x(x-2)-1(x-2)=0$

$(x-2)(x-1)=0$

$x-2=0$ 且 $x-1=0$

$x=2$ 且 $x=1$

$f(x)$的所有零點為 $1$，$2$，$-\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$。

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更新於：2022年10月10日

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