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法學研究如果已知多項式 $3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5$ 的兩個零點是 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $-\sqrt{\frac{5}{3}}$，求該多項式的其他所有零點。
已知
多項式 $3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5$，其中兩個零點是 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $-\sqrt{\frac{5}{3}}$。
求解
我們需要求出所有其他的零點。
解
如果 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ 是給定多項式的零點，那麼 $(x+\sqrt{\frac{5}{3}})(x-\sqrt{\frac{5}{3}})$ 是它的一個因式。
這意味著：
$(x+\sqrt{\frac{5}{3}})(x-\sqrt{\frac{5}{3}})=x^2-(\sqrt{\frac{5}{3}})^2=x^2-\frac{5}{3}$
因此：
被除式 $f(x)\ =\ 3x^4\ + \ 6x^3\ –\ 2x^2\ -\ 10x\ -\ 5$
除式 $=x^2-\frac{5}{3}$
$3x^2-5$)$3x^4+6x^3-2x^2-10x-5$($x^2+2x+1$
$3x^4-5x^2$
---------------------
$6x^3+3x^2-10x-5$
$6x^3-10x$
---------------------
$3x^2-5$
$3x^2-5$
------------
$0$
------------
商 $=x^2+2x+1$
$f(x)=(x^2-\frac{5}{3})(x^2+2x+1)$
為了找到其他的零點，令 $x^2+2x+1=0$。
$x^2+x+x+1=0$
$x(x+1)+1(x+1)=0$
$(x+1)(x+1)=0$
$x+1=0$ 且 $x+1=0$
$x=-1$ 且 $x=-1$
$f(x)$ 的所有零點是 $-1$，$-1$，$-\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $\sqrt{\frac{5}{3}}$。
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