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\( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \)
已知
\( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \)
要求：
我們要求化簡給定的表示式。
解答
我們知道，
分母為 ${\sqrt{a}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。
分母為 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
因此，
$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$
$=\frac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt5\times\sqrt3+(\sqrt{5})^2+(\sqrt{3})^{2}-2\sqrt5\sqrt3}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$
$=\frac{2[(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{3})^{2}]}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$
$=\frac{2(5+3)}{5-3}$
$=\frac{2 \times 8}{2}$
$=8$
因此， $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=8$。
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