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\( \frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
已知
\( \frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
要求：
我們必須化簡給定的表示式。
解答
我們知道：
分母為${\sqrt{a}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}}$。
分母為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
因此：
$\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}=\frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})}$
$=\frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})^{2}}{(3 \sqrt{2})^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}$
$=\frac{9 \times 2+4 \times 3-2 \times 3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3}}{9 \times 2-4 \times 3}$
$=\frac{18+12-12 \sqrt{6}}{18-12}$
$=\frac{30-12 \sqrt{6}}{6}$
$=5-2 \sqrt{6}$
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{4 \times 3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
$=\frac{2 \sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$
$=\frac{2 \times 3+2 \sqrt{6}}{3-2}$
$=\frac{6+2 \sqrt{6}}{1}$
$=6+2 \sqrt{6}$
因此：
$\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=5-2 \sqrt{6}+6+2 \sqrt{6}$
$=11$
因此，$\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=11$。
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