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法學將分母有理化並化簡：\( \frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}} \)
已知
\( \frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}} \)
要求：
我們將分母有理化並化簡給定的表示式。
解答
我們知道，
分母為${\sqrt{a}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}}$。
分母為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
因此，
$\frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}}=\frac{(2 \sqrt{3}-\sqrt{5})(2 \sqrt{2}-3 \sqrt{3})}{(2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3})(2 \sqrt{2}-3 \sqrt{3})}$
$=\frac{4 \sqrt{6}-6 \sqrt{3} \times \sqrt{3}-2 \sqrt{10}+3 \sqrt{15}}{(2 \sqrt{2})^{2}-(3 \sqrt{3})^{2}}$
$=\frac{4 \sqrt{6}-18-2 \sqrt{10}+3 \sqrt{15}}{8-27}$
$=\frac{-18-2 \sqrt{10}+4 \sqrt{6}+3 \sqrt{15}}{-19}$
$=\frac{18+2 \sqrt{10}-4 \sqrt{6}-3 \sqrt{15}}{19}$
因此，$\frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}}=\frac{18+2 \sqrt{10}-4 \sqrt{6}-3 \sqrt{15}}{19}$。
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