化簡分母並化簡：\( \frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \)

已知

\( \frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \)

要求：

我們要將分母有理化並化簡給定的表示式。

解答

我們知道：

分母為${\sqrt{a}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。

分母為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母為${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此：

$\frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=\frac{(5+2 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7+4 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}$

$=\frac{35-20 \sqrt{3}+14 \sqrt{3}-8 \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{(7)^{2}-(4 \sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{35-6 \sqrt{3}-24}{49-48}$

$=\frac{11-6 \sqrt{3}}{1}$

$=11-6 \sqrt{3}$

因此，$\frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=11-6 \sqrt{3}$。

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更新於：2022年10月10日

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