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法律研究如果多項式 $f(x)\ =\ 2x^4\ –\ 2x^3\ –\ 7x^2\ +\ 3x\ +\ 6$ 的兩個零點是 $-\sqrt{\frac{3}{2}}$ 和 $\sqrt{\frac{3}{2}}$，求該多項式的所有零點。
已知
$f(x)\ =\ 2x^4\ –\ 2x^3\ –\ 7x^2\ +\ 3x\ +\ 6$，且它的兩個零點是 $-\sqrt{\frac{3}{2}}$ 和 $\sqrt{\frac{3}{2}}$。
要求
求 $f(x)$ 的所有零點。
解
如果 $-\sqrt{\frac{3}{2}}$ 和 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ 是 $f(x)$ 的零點，則 $(x+\sqrt{\frac{3}{2}})(x-\sqrt{\frac{3}{2}})$ 是 $f(x)$ 的一個因式。
這意味著，
$(x+\sqrt{\frac{3}{2}})(x-\sqrt{\frac{3}{2}})=x^2-(\sqrt{\frac{3}{2}})^2=x^2-(\frac{3}{2})$
因此，
被除數 $f(x)\ =\ 2x^4\ –\ 2x^3\ –\ 7x^2\ +\ 3x\ +\ 6$
除數 $=x^2-(\frac{3}{2})$
$x^2-(\frac{3}{2})$)$2x^4-2x^3-7x^2+3x+6$($2x^2-2x-4$
$2x^4 -3x^2$
-------------------------------
$-2x^3-4x^2+3x+6$
$-2x^3 +3x$
---------------------------
$-4x^2+6$
$-4x^2+6$
-------------
$0$
商 $=2x^2-2x-4$
$f(x)=(x^2-\frac{3}{2})(2x^2-2x-4)$
要找到其他零點，令 $2x^2-2x-4=0$。
$2x^2-2x-4=0$
$2x^2-4x+2x-4=0$
$2x(x-2)+2(x-2)=0$
$(x-2)(2x+2)=0$
$x-2=0$ 和 $2x+2=0$
$x=2$ 和 $2x=-2$
$x=2$ 和 $x=-1$
$f(x)$ 的所有零點是 $-1$，$2$，$-\sqrt{\frac{3}{2}}$ 和 $\sqrt{\frac{3}{2}}$。
更新於： 2022 年 10 月 10 日
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