如果多項式 $x^{3} -4x^{2} -3x+12=0$ 的兩個零點是 $\sqrt{3}$ 和 $-\sqrt{3}$，則求其第三個零點。

已知：多項式 $x^{3} -4x^{2} -3x+12=0$，其兩個零點為 $\displaystyle \sqrt{3}$ 和 $ -\sqrt{3}$

求解：求其第三個零點。

已知多項式為 $x^{3} -4x^{2} -3x+12=0$

對於多項式 $ax^{3} +bx^{2} +cx+d=0$，如果其零點為 $\alpha,\beta\ 和\ \gamma $。

$\alpha+\beta+\gamma=-b/a$

這裡 $a\ =\ 1,\ b=-4,\ c=-3\ 和\ d=12\ $

且 $\alpha=\sqrt{3} ,\ \beta=-\sqrt{3}$，我們需要求解第三個零點 $\gamma$。

$\therefore \sqrt{3} -\sqrt{3} +\gamma=-( -4)$

$\Rightarrow \gamma=4$

因此，該多項式的第三個零點為 4。