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法律研究求一個二次多項式，其零點為$\frac{3+\sqrt{5}}{5}$和$\frac{3-\sqrt{5}}{5}$。
已知：二次多項式的零點為$\frac{3+\sqrt{5}}{5}$和$\frac{3-\sqrt{5}}{5}$。
要求：寫出具有給定零點的多項式。
解答
如給定，多項式的零點為$\frac{3+\sqrt{5}}{5}$和$\frac{3-\sqrt{5}}{5}$。
根的和$=\alpha+\beta=\frac{3+\sqrt{5}}{5}+\frac{3-\sqrt{5}}{5}$
$=\frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{5}$
$=\frac{6}{5}$
零點的積$\alpha\beta=( \frac{3+\sqrt{5}}{5})( \frac{3-\sqrt{5}}{5})$
$\Rightarrow \alpha\beta=\frac{( 3+\sqrt{5})( 3-\sqrt{5})}{5\times5}$
$\Rightarrow \alpha\beta=\frac{3^2-( \sqrt{5})^2}{25}$
$\Rightarrow \alpha\beta=\frac{9-5}{25}$
$\Rightarrow \alpha\beta=\frac{4}{25}$
因此，多項式：$x^2-( \alpha+\beta)x+( \alpha\beta)=0$
$\Rightarrow x^2-\frac{6}{5}x+\frac{4}{25}=0$
$\Rightarrow 25x^2-30x+4=0$
因此，多項式為$25x^2-30x+4=0$。
更新於： 2022年10月10日
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