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法學已知$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=a+b \sqrt{10}$，求a和b的值。
已知
已知表示式為 $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=a+b \sqrt{10}$。
求解
我們需要求a和b的值。
解答
$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = a+b \sqrt{10}$
交叉相乘，
$\Rightarrow \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=a+b \sqrt{10}$
我們知道，
$(a+b)^2 = a^2+ b^2 + 2ab$
$(a-b)^2 = a^2+ b^2 - 2ab$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
$\Rightarrow \frac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{5})^2 +(\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) }{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}=a+b \sqrt{10}$
$\Rightarrow \frac{7+2\sqrt{10}+7 - 2\sqrt{10}}{5-2}=a+b \sqrt{10}$
$\Rightarrow \frac{14}{3}=a+b \sqrt{10}$
$\Rightarrow \frac{14}{3} + 0\sqrt{10}=a+b \sqrt{10}$
比較係數，
$a = \frac{14}{3}$, $b = 0$
a和b的值分別為$\frac{14}{3}$和0。
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