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法學研究如果$\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}=a+b \sqrt{5}$，求a和b的值。
已知
已知表示式為 $\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}=a+b \sqrt{5}$
求解
我們需要求出a和b的值。
解答
$\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}$
為了分解分母，我們用$7+\sqrt{5}$乘以分子和分母
左邊(LHS)
$\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}} = \frac{(7+\sqrt{5}) \times (7+ \sqrt{5})}{(7-\sqrt{5}) \times (7 + \sqrt{5})}$
$=\frac{(7+\sqrt{5})^2}{7^2-\sqrt{5}^2} $
$ = \frac{7^2 + \sqrt{5}^2 + 2 \times 7\sqrt{5}}{49-5} $
$ = \frac{49 + 5 + 14\sqrt{5}}{44}$
$ = \frac{54 + 14\sqrt{5}}{44}$
$ = \frac{54}{44} + \frac{14 \sqrt{5}}{44}$
$ = \frac{27}{22} + \frac{7\sqrt{5}}{22}$
右邊(RHS)
$ a + b\sqrt{5}$
比較兩邊，
$ a + b\sqrt{5} = \frac{27}{22} + \frac{7\sqrt{5}}{22}$
$a = \frac{27}{22}$
$b = \frac{7}{22}$。
因此，a和b的值分別為 $\frac{27}{22}$ 和 $\frac{7}{22}$。
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