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法律研究在下列各題中，確定有理數$a$和$b$：\( \frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3} \)
已知
\( \frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3} \)
要求：
我們必須確定有理數$a$和$b$。
解答
我們知道，
分母為${\sqrt{a}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}}$。
分母為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
左邊 $=\frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=\frac{(5+3 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7+4 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}$
$=\frac{35-20 \sqrt{3}+21 \sqrt{3}-12 \times 3}{(7)^{2}-(4 \sqrt{3})^{2}}$
$=\frac{35+\sqrt{3}-36}{49-48}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{1}$
$=-1+\sqrt{3}$
因此，
$a+b \sqrt{3}=-1+\sqrt{3}$
比較兩邊，我們得到，
$a=-1$ 和 $b=1$
因此，$a=-1$ 和 $b=1$。
更新於：2022年10月10日
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