因式分解下列表達式：\( 2 \sqrt{2} a^{3}+3 \sqrt{3} b^{3}+c^{3}-3 \sqrt{6} a b c \)

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已知

\( 2 \sqrt{2} a^{3}+3 \sqrt{3} b^{3}+c^{3}-3 \sqrt{6} a b c \)

要求

我們需要計算給定表示式的值。

解答

我們知道：

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

如果 $a + b + c = 0$，則 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

因此：

$2 \sqrt{2} a^{3}+3 \sqrt{3} b^{3}+c^{3}-3 \sqrt{6} a b c=(\sqrt{2} a)^{3}+(\sqrt{3} b)^{3}+(c)^{3}-3 \times \sqrt{2} a \times \sqrt{3} b \times c$

$=(\sqrt{2} a+\sqrt{3} b+c)[(\sqrt{2} a)^{2}+(\sqrt{3} b)^{2}+c^{2}-\sqrt{2} a \times \sqrt{3} b-\sqrt{3} b \times c-c \times \sqrt{2} a]$

$=(\sqrt{2} a+\sqrt{3} b+c)(2 a^{2}+3 b^{2}+c^{2}-\sqrt{6} a b-\sqrt{3} b c-\sqrt{2} c a)$

因此，\(2 \sqrt{2} a^{3}+3 \sqrt{3} b^{3}+c^{3}-3 \sqrt{6} a b c=(\sqrt{2} a+\sqrt{3} b+c)(2 a^{2}+3 b^{2}+c^{2}-\sqrt{6} a b-\sqrt{3} b c-\sqrt{2} c a)\).