在下列各題中，確定有理數 $a$ 和 $b$：\( \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=a+b \sqrt{2} \)

已知

\( \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=a+b \sqrt{2} \)

要求：

我們必須確定有理數 $a$ 和 $b$。

解答

我們知道，

分母為 ${\sqrt{a}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。

分母為 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母為 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

左邊 $=\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=\frac{(3+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}$

$=\frac{(3+\sqrt{2})^{2}}{(3)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$

$=\frac{9+2+2 \times 3 \sqrt{2}}{9-2}$

$=\frac{11+6 \sqrt{2}}{7}$

$=\frac{11}{7}+\frac{6}{7} \sqrt{2}$

因此，

$a+b \sqrt{2}=\frac{11}{7}+\frac{6}{7} \sqrt{2}$

比較兩邊，我們得到，

$a=\frac{11}{7}$ 和 $b=\frac{6}{7}$

因此，$a=\frac{11}{7}$ 和 $b=\frac{6}{7}$。

教程點

更新於：2022年10月10日

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