在下列各題中，確定有理數 $a$ 和 $b$：\( \frac{4+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=a-\sqrt{b} \)

已知

\( \frac{4+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=a-\sqrt{b} \)

要求：

我們必須確定有理數 $a$ 和 $b$。

解答

我們知道：

分母為 ${\sqrt{a}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。

分母為 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母為 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

左邊 $=\frac{4+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(4+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$

$=\frac{8-4 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}-2}{(2)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$

$=\frac{6-2 \sqrt{2}}{4-2}$

$=\frac{6-2 \sqrt{2}}{2}$

$=3-\sqrt{2}$

因此，

$a-\sqrt{b}=3-\sqrt{2}$

比較兩邊，我們得到：

$a=3$ 和 $b=2$

因此，$a=3$ 和 $b=2$。 

教程點

更新於：2022年10月10日

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