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法律研究將下列各表示式寫成分母為有理數的形式：\( \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a} \)
已知
\( \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a} \)
要求：
我們要將給定的分數表示成分母為有理數的形式。
解答
我們知道，
分母為 ${\sqrt{a}}$ 的分數的有理化因數是 ${\sqrt{a}}$。
分母為 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因數是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因數是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
這意味著，
分母為 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a$ 的分數的有理化因數是 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a$。
因此，
$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}=\frac{b^{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}{(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a)(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}$
$=\frac{b^{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}{(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}-a^{2}}$
$=\frac{b^{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}{a^{2}+b^{2}-a^{2}}$
$=\frac{b^{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}{b^{2}}$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a$
因此，$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a$。
更新於： 2022年10月10日
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