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法學將下列各式化為分母為有理數的分數：\( \frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3} \)
已知
\( \frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3} \)
要求：
我們將給定分數化成分母為有理數的分數。
解答
我們知道：
分母為${\sqrt{a}}$的分數的有理化因子為${\sqrt{a}}$。
分母為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分數的有理化因子為${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分數的有理化因子為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
因此：
$\frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3}=\frac{(3 \sqrt{2}+1)(2 \sqrt{5}+3)}{(2 \sqrt{5}-3)(2 \sqrt{5}+3)}$
$=\frac{3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{5}+3 \times 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{(2 \sqrt{5})^{2}-(3)^{2}}$
$=\frac{6 \sqrt{10}+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{20-9}$
$=\frac{6 \sqrt{10}+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{11}$
因此，$\frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3}=\frac{6 \sqrt{10}+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{11}$。
更新於：2022年10月10日
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