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法律研究在下列各題中，確定有理數 $a$ 和 $b$：\( \frac{4+3 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}}=a+b \sqrt{5} \)
已知
\( \frac{4+3 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}}=a+b \sqrt{5} \)
要求：
我們必須確定有理數 $a$ 和 $b$。
解答
我們知道：
分母為 ${\sqrt{a}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。
分母為 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分數的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
左邊 =$\frac{4+3 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}}=\frac{(4+3 \sqrt{5})(4+3 \sqrt{5})}{(4-3 \sqrt{5})(4+3 \sqrt{5})}$
$=\frac{(4+3 \sqrt{5})^{2}}{(4)^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}$
$=\frac{16+45+24 \sqrt{5}}{16-45}$
$=\frac{61+24 \sqrt{5}}{-29}$
$=\frac{-61}{29}+\frac{-24}{29}\sqrt5$
因此，
$a+b \sqrt{5}=\frac{-61}{29}+\frac{-24}{29}\sqrt{5}$
比較兩邊，我們得到：
$a=\frac{-61}{29}$ 和 $b=\frac{-24}{29}$
因此，$a=\frac{-61}{29}$ 和 $b=\frac{-24}{29}$。
更新於：2022年10月10日
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