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法學研究將下列分母有理化
(i) \( \frac{1}{\sqrt{7}} \)
(ii) \( \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} \)
(iii) \( \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \)
(iv) \( \frac{1}{\sqrt{7}-2} \)
解題步驟
我們需要將給定表示式的分母有理化。
解答
我們知道：
分母為${\sqrt{a}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}}$。
分母為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分數的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
因此：
(i) $\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{7}}\times\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$
$=\frac{\sqrt{7}}{(\sqrt{7})^2}$
$=\frac{\sqrt{7}}{7}$。
(ii) $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$
$=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}$
$=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6}$
$=\sqrt{7}+\sqrt{6}$。
(iii) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2}$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
(iv) $\frac{1}{\sqrt{7}-2}=\frac{1}{\sqrt{7}-2}\times\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2}$
$=\frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2-(2)^2}$
$=\frac{\sqrt{7}+2}{7-4}$
$=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$。
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