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法學證明下列數是無理數。
(i) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
(ii) \( 7 \sqrt{5} \)
(iii) \( 6+\sqrt{2} \).
證明:
這裡我們要證明給定的數字是無理數。
解答
(i) $\mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}}$
假設 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 是一個有理數。
那麼，$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 可以寫成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 a 和 b 是互質數，且 b 不等於 0。
因此，
$\frac{1}{\sqrt{2}}\ =\ \frac{a}{b}$
$\frac{b}{a}\ =\ \sqrt{2}$
這裡，$\frac{b}{a}$ 是有理數，但 $\sqrt{2}$ 是無理數。
有理數不能等於無理數。
這與我們的假設相矛盾，即 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 是一個有理數。
因此，$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 是無理數。
(ii) $\mathbf{7\sqrt{5}}$
假設 $7\sqrt{5}$ 是一個有理數。
因此，$7\sqrt{5}$ 可以寫成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 a 和 b 是互質數，且 b 不等於 0。
$7\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$
$\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{7b}$
這裡，$\sqrt{5}$ 是無理數，但 $\frac{a}{7b}$ 是有理數。
有理數不能等於無理數。
這與我們的假設相矛盾，即 $7\sqrt{5}$ 是一個有理數。
因此，$7\sqrt{5}$ 是無理數。
(iii) $6\ +\ \sqrt{2}$
假設，與之相反，$6\ +\ \sqrt{2}$ 是有理數。
因此，我們可以找到整數 a 和 b（b ≠ 0），使得 $6\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$。
其中 a 和 b 是互質數。
現在，
$6\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$
$\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 6$
$\sqrt{2}\ =\ \frac{a\ -\ 6b}{b}$
這裡，$\frac{a\ -\ 6b}{b}$ 是有理數，但 $\sqrt{2}$ 是無理數。
但是，無理數 ≠ 有理數。
這個矛盾是由於我們錯誤地假設 $6\ +\ \sqrt{2}$ 是有理數而引起的。
所以，這證明了 $6\ +\ \sqrt{2}$ 是一個無理數。
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