證明下列數是無理數。
(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(ii) $7\sqrt{5}$

已知：

給定的數字是

(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $7\sqrt{5}$

證明：這裡我們需要證明給定的數字是無理數。

解答

(i)  $\mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

假設$\frac{1}{\sqrt{2}}$是一個有理數。

那麼，$\frac{1}{\sqrt{2}}$可以寫成$\frac{a}{b}$的形式，其中a和b互質，且b不等於0。

因此，

$\frac{1}{\sqrt{2}}\ =\ \frac{a}{b}$

$\frac{b}{a}\ =\ \sqrt{2}$

這裡，$\frac{b}{a}$是有理數，但$\sqrt{2}$是無理數。

有理數不能等於無理數。

這與我們的假設相矛盾，即$\frac{1}{\sqrt{2}}$是有理數。

因此，$\frac{1}{\sqrt{2}}$是無理數。

( ii) $\mathbf{7\sqrt{5}}$

假設$7\sqrt{5}$是一個有理數。

因此，$7\sqrt{5}$可以寫成$\frac{a}{b}$的形式，其中a和b互質，且b不等於0。

$7\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{7b}$  ​

這裡，$\sqrt{5}$是無理數，但$\frac{a}{7b}$​是有理數。

有理數不能等於無理數。

這與我們的假設相矛盾，即數字$7\sqrt{5}$是有理數。

因此，$7\sqrt{5}$是無理數。

教程點

更新於：2022年10月10日

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