將下列數字分類為有理數或無理數
(i) \( 2-\sqrt{5} \)
(ii) \( (3+\sqrt{23})-\sqrt{23} \)
(iii) \( \frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} \)
(iv) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
(v) \( 2 \pi \)

要做的

我們必須將給定的數字分類為有理數或無理數。

解決方案

 (i) 我們知道，

$\sqrt{5}=2.236067..........$

\( \sqrt{5} \) 的十進位制展開式是非終止且非迴圈的。

因此，\( 2-\sqrt{5} \) 是一個無理數。

(ii) $(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}=3+\sqrt{23}-\sqrt{23}$

$=3$

$=\frac{3}{1}$

數字 $\frac{3}{1}$ 的形式為 $\frac{p}{q}$。

因此，\( (3+\sqrt{23})-\sqrt{23} \) 是一個有理數。

(iii) \( \frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}=\frac{2}{7} \)

數字 $\frac{2}{7}$ 的形式為 $\frac{p}{q}$。

因此，\( \frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} \) 是一個有理數。

(iv) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)

對 \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 進行有理化，得到：

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt{2}}$

$=\frac{1\times\sqrt2}{\sqrt{2}\sqrt2}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}=1.4142135..........$

\( \sqrt{2} \) 的十進位制展開式是非終止且非迴圈的。

因此，\( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 是一個無理數。

(v) \( 2 \pi \)

$\pi=3.1415........$

這意味著，

$2\pi=2\times(3.1415........)$

$=6.2830.........$

數字 $6.2830.........$ 是非終止非迴圈的。

因此，\( 2 \pi \) 是一個無理數。

教程點

更新於： 2022年10月10日

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