對於哪些 \( a \) 和 \( b \) 的值，多項式 \( q(x)=x^{3}+2 x^{2}+a \) 的零點也是多項式 \( p(x)=x^{5}-x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+3 x+b \) 的零點？\( p(x) \) 的哪些零點不是 \( q(x) \) 的零點？

學術數學 NCERT 10 年級

已知

\( q(x)=x^{3}+2 x^{2}+a \)

\( p(x)=x^{5}-x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+3 x+b \)

求解

這裡，我們需要找到 \( a \) 和 \( b \) 的值，使得 \( q(x) \) 的零點也是多項式 \( p(x) \) 的零點。

解

$q(x) = x^3 + 2x^2 + a$ 的零點也是多項式 $p(x) = x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b$ 的零點。

這意味著，

$q(x)$ 是 $p(x)$ 的一個因子。

使用長除法，我們得到：

$x^3+2x^2+a$)$x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b$($x^2-3x+2$

$x^5+2x^4+ax^2$

------------------------

$-3x^4-4x^3+(3-a)x^2+3x+b$

$-3x^4-6x^3-3ax$

----------------------

$2x^3+(3-a)x^2+(3+3a)x+b$

$2x^3+4x^2+2a$

--------------------

$-(1+a)x^2+(3+3a)x+(b-2a)$

如果 $(x^3 + 2x^2 + a)$ 是 $(x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b)$ 的一個因子，那麼餘數應該為零。

這意味著，

$-(1 + a) x^2 + (3 + 3a) x + (b - 2a) = 0$

$= 0x^2 + 0x+0$

比較 $x$ 的係數，我們得到：

$3a + 3 = 0$

$3a = -3$

$a=-1$

$b - 2a = 0$

$b =2a$

$b = 2(-1)$

$= -2$

對於 $a = -1$ 和 $b = -2$，$q(x)$ 的零點也是多項式 $p(x)$ 的零點。

因此，

$q(x) = x^3 + 2x^2 -1$

$p(x) = x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x - 2$

被除數 = 除數 × 商 + 餘數

$p(x) = (x^3 +2x^2 -1)(x^2 -3x + 2)+ 0$

$= (x^3 + 2x^2 -1)(x^2 -2x - x + 2)$

$= (x^3 + 2x^2 - 1) (x - 2) (x - 1)$

因此，$p(x)$ 的零點是 $1$ 和 $2$，它們不是 $q(x)$ 的零點。

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更新於: 2022 年 10 月 10 日

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