驗證以下值是否為多項式給出的零點。
(i) \( p(x)=3 x+1, x=-\frac{1}{3} \)
(ii) \( p(x)=5 x-\pi, x=\frac{4}{5} \)
(iii) \( p(x)=x^{2}-1, x=1,-1 \)
(iv) \( p(x)=(x+1)(x-2), x=-1,2 \)
(v) \( p(x)=x^{2}, x=0 \)
(vi) \( p(x)=l x+m, x=-\frac{m}{l} \)
(vii) \( p(x)=3 x^{2}-1, x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \)
(viii) \( p(x)=2 x+1, x=\frac{1}{2} \)

需要做的事情

我們需要驗證給定的值是否為給定多項式的零點。

解答

多項式的零點定義為 $x$ 的任何實數值，對於該值，多項式的值為零。

因此，

(i) \( p(x)=3 x+1, x=-\frac{1}{3} \)

$p(-\frac{1}{3})=3(-\frac{1}{3})+1$

$=-1+1$

$=0$

因此，$x=-\frac{1}{3}$ 是多項式 $p(x)=3 x+1$ 的零點。

(ii) \( p(x)=5 x-\pi, x=\frac{4}{5} \)

$p(\frac{4}{5})=5(\frac{4}{5})-\pi$

$=4-\pi$

$≠0$

因此，$x=\frac{4}{5}$ 不是多項式 $p(x)=5x-\pi$ 的零點。

(iii) \( p(x)=x^{2}-1, x=1,-1 \)

$p(1)=(1)^2-1$

$=1-1$

$=0$

$p(-1)=(-1)^2-1$

$=1-1$

$=0$

因此，$x=1,-1$ 是多項式 $p(x)=x^2-1$ 的零點。

(iv) \( p(x)=(x+1)(x-2), x=-1,2 \)

$p(-1)=(-1+1)(-1-2)$

$=(0)(-3)$

$=0$

$p(2)=(2+1)(2-2)$

$=(3)(0)$

$=0$

因此，$x=-1,2$ 是多項式 $p(x)=(x+1)(x-2)$ 的零點。

(v) \( p(x)=x^{2}, x=0 \)

$p(0)=(0)^2$

$=0$

因此，$x=0$ 是多項式 $p(x)=x^2$ 的零點。

(vi) \( p(x)=l x+m, x=-\frac{m}{l} \)

$p(-\frac{m}{l})=l(-\frac{m}{l})+m$

$=-m+m$

$=0$

因此，$x=-\frac{m}{l}$ 是多項式 $p(x)=l x+m$ 的零點。

(vii) \( p(x)=3 x^{2}-1, x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \)

$p(-\frac{1}{\sqrt3})=3(-\frac{1}{\sqrt3})^2-1$

$=3(\frac{1}{3})-1$

$=1-1$

$=0$

$p(-\frac{2}{\sqrt3})=3(-\frac{2}{\sqrt3})^2-1$

$=3(\frac{4}{3})-1$

$=4-1$

$=3$

$≠0$

因此，$x=-\frac{1}{\sqrt3}$ 是多項式 $p(x)=3x^2-1$ 的零點，而 $x=-\frac{2}{\sqrt3}$ 不是多項式 $p(x)=3x^2-1$ 的零點。

(viii) \( p(x)=2 x+1, x=\frac{1}{2} \)

$p(\frac{1}{2})=2(\frac{1}{2})+1$

$=1+1$

$=2$

$≠0$

因此，$x=\frac{1}{2}$ 不是多項式 $p(x)=2 x+1$ 的零點。

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更新於: 2022年10月10日

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