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法律研究如果 \( x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=194 \)，求 \( x^{3}+\frac{1}{x^{3}}, x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 和 \( x+\frac{1}{x} \)
已知
\( x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=194 \)
求解
我們需要求出 \( x^{3}+\frac{1}{x^{3}}, x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 和 \( x+\frac{1}{x} \).
解答
$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=194$
兩邊同時加2，得到：
$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=194+2$
$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=196$
$(x^{2})^{2}+\frac{1}{(x^{2})^{2}}+2\times x^2 \times \frac{1}{x^2}=(14)^{2}$
$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=(14)^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=14$
類似地，
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=14$
兩邊同時加2，得到：
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=14+2$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\times x \times \frac{1}{x}=16$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\times x \times \frac{1}{x}=(4)^{2}$
$(x+\frac{1}{x})^{2}=(4)^{2}$
$\Rightarrow x+\frac{1}{x}=4$
類似地，
$x+\frac{1}{x}=4$
兩邊同時立方，得到：
$(x+\frac{1}{x})^{3}=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3 \times x \times \frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})$
$(4)^{3}=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3 \times 4$
$64=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+12$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=64-12$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=52$
因此，\( x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=52, x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=14 \) 和 \( x+\frac{1}{x}=4 \)。
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