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法學如果 $x - \frac{1}{x} = 3$，求 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 和 $x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值。
已知
$x - \frac{1}{x} = 3$
求解
我們要求 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 和 $x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值。
解答
已知表示式為 $x - \frac{1}{x} = 3$。我們需要求 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 和 $x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值。因此，透過平方已知表示式並使用恆等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$...................(i) 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(ii)，我們可以求出所需的值。
考慮：
$x - \frac{1}{x} = 3$
兩邊平方，得到：
$(x - \frac{1}{x})^2 = 3^2$ [使用 (ii)]
$x^2-2\times x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=9$
$x^2-2+\frac{1}{x^2}=9$
$x^2+\frac{1}{x^2}=9+2$ (將 $-2$ 移到右邊)
$x^2+\frac{1}{x^2}=11$
現在，
$x^2+\frac{1}{x^2}=11$
兩邊平方，得到：
$(x^2+\frac{1}{x^2})^2 = (11)^2$ [使用 (i)]
$x^4+2\times x^2 \times \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}=121$
$x^4+2+\frac{1}{x^4}=121$
$x^4+\frac{1}{x^4}=121-2$ (將 $2$ 移到右邊)
$x^4+\frac{1}{x^4}=119$
因此，$x^2+\frac{1}{x^2}$ 的值為 $11$，$x^4+\frac{1}{x^4}$ 的值為 $119$。
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