$x+\frac{1}{x}=4$，求下列各式的值

a) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$

b) $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$

已知

已知表示式為 $x+\frac{1}{x}=4$。

要求

我們需要求解以下各式的值：

a) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ b) $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$。

解： 

a) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$

 $x+\frac{1}{x}=4$

兩邊平方，

 $(x+\frac{1}{x})^2=4^2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} +2.x.\frac{1}{x} = 16$       $[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab]$

$x^2 + \frac{1}{x^2} +2=16$

$x^2 + \frac{1}{x^2} =16-2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} =14$。

因此，$x^2 + \frac{1}{x^2}$ 的值為 14。

b) $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$

我們知道，$x^2 + \frac{1}{x^2} =14$

兩邊平方，

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 =14^2$

$(x^2)^2 + (\frac{1}{x^2})^2 +2 .x^2.\frac{1}{x^2}=14^2$   $[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab]$

$x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 = 196$

$x^4 + \frac{1}{x^4}=196-2$

$x^4 + \frac{1}{x^4}=194$。

因此，$x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值為 194。

教程點

更新於： 2022年10月10日

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