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法律研究如果\( x+\frac{1}{x}=\sqrt{5} \)，求\( x^{2}+ \frac{1}{x^{2}} \)和\( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \)的值。
已知
\( x+\frac{1}{x}=\sqrt{5} \)
要求
我們必須找到\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \)和\( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \)的值。
解答
我們知道，
$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$
$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
因此，
$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$
兩邊平方，得到，
$(x+\frac{1}{x})^{2}=(\sqrt{5})^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\times x \times \frac{1}{x}=5$
$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=5$
$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=5-2=3$
兩邊平方，得到，
$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=(3)^{2}$
$\Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2\times x^2 \times \frac{1}{x^2}=9$
$\Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=9-2=7$
\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \) 和 \( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \) 的值分別為 $3$ 和 $7$。
更新於: 2022年10月10日
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