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法律研究如果\( x-\frac{1}{x}=5 \)，求
(a) \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \)
(b) \( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \)
已知
已知表示式為 $x-\frac{1}{x}=5$。
求解
我們需要求下列值：
a) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
b) $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$。
解：
a) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
$x-\frac{1}{x}=5$
兩邊平方，
$(x-\frac{1}{x})^2=(5)^2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} -2.x.\frac{1}{x} = 25$ $[(a-b)^2=a^2+b^2-2ab]$
$x^2 + \frac{1}{x^2} -2=25$
$x^2 + \frac{1}{x^2} =25+2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} =27$。
因此，$x^2 + \frac{1}{x^2}$ 的值為 27。
b) $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$
我們知道，$x^2 + \frac{1}{x^2} =27$
兩邊平方，
$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 =(27)^2$
$(x^2)^2 + (\frac{1}{x^2})^2 +2 .x^2.\frac{1}{x^2}=27^2$ $[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab]$
$x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 = 729$
$x^4 + \frac{1}{x^4}=729-2$
$x^4 + \frac{1}{x^4}=727$。
因此，$x^4 + \frac{1}{x^4}$ 的值為 727。
更新於：2022年10月10日
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