如果多項式 $x^3 - 3x^2 + x + 1$ 的零點為 $a-b, a, a + b$，求 $a$ 和 $b$。

已知

多項式 $x^3 - 3x^2 + x + 1$ 的零點為 $a-b, a, a + b$。

求解

我們需要求出 $a$ 和 $b$。

解答

設 $\alpha, \beta$ 和 $\gamma$ 為多項式 $x^3 – 3x^2 + x + 1$ 的零點。

這意味著：

$\alpha = a-b, \beta = a$ 和 $\gamma = a + b$。

因此：

零點之和 $= \alpha + \beta + \gamma$

$(a – b) + a + (a + b)=3$

$a-b + a + a + b = 3$

$3a = 3$

$a= 1$........…(i)

零點之積 $= \alpha \beta \gamma$

$(a – b) a (a + b) = -1$

$(a^2 – b^2)a = -1$

$a^3 – ab^2 = -1$...… (ii)

將式 (i) 中的 $a$ 值代入式 (ii)，我們得到：

$(1)^3-(1)b^2 = -1$

$1 – b^2 = -1$

$b^2 = 1 + 1$

$b^2 = 2$

$b = \pm \sqrt2$

因此，$a = 1$ 且 $b = \pm \sqrt2$

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更新於：2022年10月10日

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