下列各題中，從所給的四個選項中選擇正確的答案
如果三次多項式 \( x^{3}+a x^{2}+b x+c \) 的一個零點是 \( -1 \)，則另外兩個零點的乘積是
(A) \( b-a+1 \)
(B) \( b-a-1 \)
(C) \( a-b+1 \)
(D) \( a-b-1 \)

已知：

三次多項式 \( x^{3}+a x^{2}+b x+c \) 的一個零點是 \( -1 \).

求解：

我們必須找到另外兩個零點的乘積。

解答

設 $p(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

三次多項式 $p(x)$ 的一個零點是 $-1$。

設 $\alpha, \beta$ 和 $\gamma$ 是三次多項式 $p(x)$ 的零點，其中 $\alpha=-1$。

$p(-1)=0$

$\Rightarrow (-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)+c=0$

$\Rightarrow -1+a-b+c=0$

$\Rightarrow c=1-a+b$.............(i)

我們知道：

所有三個零點的乘積 $=-\frac{\text { 常數項 }}{\text { }x^{3} \text{ 的係數 }}$

$=-\frac{c}{1}$

$=-c$

$\alpha \beta \gamma=-c$

$\Rightarrow (-1) \beta \gamma=-c$

$\Rightarrow \beta \gamma=c$

$\Rightarrow \beta \gamma=1-a+b$            [來自 (i)]

因此，另外兩個根的乘積是 $1-a+b$。

更新於：2022年10月10日

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