如果多項式 $f(x)\ =\ x^3\ -\ 12x^2\ +\ 39x\ +\ k$ 的零點成等差數列，求 $k$ 的值。

已知

多項式 $f(x)\ =\ x^3\ -\ 12x^2\ +\ 39x\ +\ k$ 的零點成等差數列。


要求

這裡，我們需要求出 $k$ 的值。


解答

設給定多項式的零點為 α、β 和 γ。


已知零點成等差數列。

因此，設根為 $α = p – d$，$β = p$ 和 $γ = p +d$，其中 $p$ 為首項，$d$ 為公差。

將 $f(x)$ 與三次多項式的標準形式進行比較，
$a= 1$，$b= -12$，$c= 39$ 和 $d=k$

因此，

根的和 $= α + β + γ = (p– d) + p + (p + d) = 3p = \frac{-b}{a} =\frac{-(-12)}{1} = 12$

$3p= 12$

$p= \frac{12}{3}=4$

$β = p$ 是給定多項式的根。

這意味著，

$f(p)=0$

$f(4)=(4)^3-12(4)^2+39(4)+k=0$

$64-12(16)+156+k=0$

$64-192+156+k=0$

$220-192+k=0$

$28+k=0$

$k=-28$

$k$ 的值為 $-28$。

更新於: 2022年10月10日

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