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法律研究求多項式 $f(x)\ =\ x^3\ +\ 3px^2\ +\ 3qx\ +\ r$ 的根為等差數列的條件。
已知
多項式 $f(x)\ =\ x^3\ +\ 3px^2\ +\ 3qx\ +\ r$ 的根為等差數列。
要求
這裡，我們要求出使得給定多項式的根為等差數列的條件。
解答
設給定多項式的根為 α，β 和 γ。
已知這些根為等差數列。
因此，我們將根表示為：
$α = s - d$，$β = s$ 和 $γ = s +d$，其中 $s$ 為首項，$d$ 為公差。
將 $f(x) $ 與三次多項式的標準形式比較，
$a= 1$，$b= 3p$，$c= 3q$ 和 $d=r$
因此，
根的和 $= α + β + γ = (s– d) +s + (s + d) = 3s = \frac{-b}{a} =\frac{-3p}{1} = -3p$
$3s= -3p$
$s=-p$
$β = s$ 是多項式 $f(x)$ 的一個根。
這意味著，
$f(s)=0$
$f(-p)=(-p)^3+3p(-p)^2+3q(-p)+r=0$
$-p^3+3p^3-3pq+r=0$
$2p^3-3pq+r=0$
多項式 $f(x)\ =\ x^3\ +\ 3px^2\ +\ 3qx\ +\ r$ 的根為等差數列的條件是 $2p^3-3pq+r=0$。
更新於：2022年10月10日
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